Il y a quelques années j’ai été voir un très mauvais film appelé Cube 2 : Hypercube. Je n’en raconterai pas l’histoire puisqu’aujourd’hui je vais vous parler non pas de Cube mais de l’hypercube, dont l’existence m’a été rappelée justement par ce navet. L’hypercube, ou tesseract, est un objet géométrique à quatre dimensions. Quatre dimensions, me direz-vous, comment cela est-il donc possible ? Reprenons à la base : un espace à zéro dimensions, c’est un point. Un espace à une dimension, c’est une ligne. Un espace à deux dimensions est un plan, et pour finir un espace en trois dimensions est un volume. Et un espace à quatre dimensions, c’est un truc qu’on ne peut pas s’imaginer et encore moins voir (pour une raison que je vais expliquer plus loin). Un cube, c’est une figure géométrique à trois dimensions (longueur, largeur, profondeur) dont chaque face est un carré. Un hypercube, c’est un bidule dont chaque « face » serait un cube. Je vous sens dubitatif, et si j’ai décidé d’en parler aujourd’hui, c’est parce que je l’étais aussi depuis qu’on m’avait présenté la chose lors d’un cours de maths pendant lequel je dormais plutôt pas mal. J’ai donc cherché sur le net plus d’explications, et je suis tombé sur l’histoire de Toto le triangle et de Bouboule la sphère. C’est une vraie histoire inventée par un mathématicien que je m’en vais vous narrer, car je la trouve intéressante. (Note : J’ai changé les noms pour la forme.)
Toto le triangle vit dans un monde à deux dimensions (un plan). Ses yeux ne voient pas le monde extérieur (l’espace à trois dimensions) car il n’a pas conscience de son existence. Pourquoi ? Parce que ses yeux ne voient qu’une seule dimension. Pour Toto le triangle, le monde est une ligne colorée. Colorée de ses autres amis Caca le Carré, Ronron le Cercle, etc. Quand Caca est en face de Toto, Toto le voit comme une seule ligne colorée différemment du reste du monde. Il sait que Caca est un carré, car ses deux yeux permettent d’évaluer les distances de chaque point du monde en face de lui, et donc il s’imagine très bien la forme extérieure de ses amis, ainsi que la sienne. Mais il ne voit pas l’intérieur de ses amis bien évidemment, et l’idée même ne lui viendrait jamais à l’esprit.
Un jour, il entend une voix qui lui demande comment il s’appelle. Toto répond qu’il s’appelle Toto, mais qu’il ne voit personne et qu’il ne sait pas d’où vient la voix car il ne voit rien autour de lui. La voix est celle de Bouboule la Boule, qui est une sphère qui se trouve dans le monde à trois dimensions. Bouboule essaye d’expliquer à Toto ce qu’est une sphère : c’est comme si on empilait des cercles les uns sur les autres qui se toucheraient par toute leur surface. D’ailleurs, Bouboule essaye d’expliquer à Toto qu’il vit dans un monde tout plat, et que la troisième dimension c’est vachement chouette, et que d’ici on peut même voir l’intérieur de Toto ainsi que tous ses côtés en même temps. Alors forcément Toto commence à stresser et demande à Bouboule de se montrer. Bouboule se déplace alors vers le monde de Toto (le plan) et le traverse. Or, Toto, avec ses yeux à une dimension, voit, abasourdi, un cercle qui apparaît au beau milieu de nulle part, qui s’agrandit, puis rétrécit, et disparaît. Malheureusement, Toto ne pourra jamais s’imaginer ce qu’est la troisième dimension. Tout juste pourra-t-il demander à Bouboule de bouger dans différentes positions par rapport au plan, et il ne pourra l’observer que par tranches à deux dimensions.
Lorsque j’ai trouvé cette histoire sur le net, elle finissait par « voilà, maintenant vous comprenez pourquoi vous ne pouvez pas vous imaginer quatre dimensions ». Bon sang mais merde, non, je comprenais pas. Il m’a fallu un peu de jugeotte pour en fait comprendre ce qui n’était pas expliqué… en l’occurence que nous ne voyons pas notre monde en trois dimensions, mais en deux dimensions. C’est tout con, mais j’avais jamais tilté. Nos yeux ne voient que deux dimensions, c’est évident : fermez un œil et ce que vous voyez est une image en deux dimensions. Ouvrez les deux yeux et ce que vous voyez est une image en deux dimensions et en RELIEF. Pas en 3D. Les deux yeux ne nous servent qu’à évaluer les distances, tout le monde le sait mais personne n’y réfléchit. Regardez votre écran : vous le voyez en 3D vous ? Vous voyez l’intérieur ainsi que toutes ses faces en même temps ? Et bien non. Vous évoluez dans un monde en 3D, mais vous n’en voyez qu’une projection sur un plan.
Et donc, forcément, comme Toto ne voit qu’une dimension alors qu’il vit dans un monde à deux dimensions, nous voyons deux dimensions alors que nous vivons dans un monde qui en a trois. Et comme Toto, toutes les autres dimensions supplémentaires qui pourraient exister nous passent complètement sous le nez. Et comme Toto avec Bouboule, il nous est impossible d’imaginer à quoi pourrait ressembler un hypercube, qui est donc un objet constitué de cubes « empilés » qui se touchent par tout leur volume. On peut juste l’étudier par tranches en trois dimensions comme sur cette page (note : l’image est doublée car elle peut être regardée comme un stéréogramme, en relief). On peut faire de même avec des objets plus rigolos comme cette Hyper Star de 120 hyperfaces.
L’histoire ne s’arrête pas là cependant, puisque selon une théorie très en vogue chez nos amis physiciens (qui sont des gens comme tout le monde, je le rappelle), notre monde ne serait pas constitué de 3 ou 4 dimensions spatiales, mais de 10 ! Plus une dimension de temps, évidemment. Cette théorie s’appelle la théorie des supercordes, qui ne volent pas et qui n’ont pas de cape bleues et rouges, mais qui sont super quand même. La théorie la plus forte restant bien entendu la théorie de Douglas Adams selon laquelle il y aurait au moins une quarantaines de dimensions spatiales, une de temps et une de probabilité (d’où la Terre qui se transforme en saucisse).
Si jamais un jour vous voyez Cube 2 (pauvre de vous), vous verrez qu’à un moment un petit objet 3D apparaît au milieu d’une pièce et s’agrandit, se déforme et charcute tout le monde au passage pour rétrécir et enfin disparaître. C’est le seul intérêt de ce film, en fait : voir à quoi ressemble un objet en 4 dimensions qui traverse notre espace. Le reste, c’est du flan de moule.
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